photosdematures.com

ద్విపద పంపిణీని లెక్కించడానికి ఫార్ములా

ద్విపద ప్రయోగం యొక్క n ప్రయత్నాలలో స్వతంత్రంగా ఉన్న x విజయాలను పొందే సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు పరీక్షల సంఖ్య మరియు nCx ప్రాతినిధ్యం వహిస్తున్న విజయాల సంఖ్య మధ్య కలయిక ద్వారా సంభావ్యత ఉద్భవించింది. px చేత ప్రాతినిధ్యం వహిస్తున్న విజయాల సంఖ్య యొక్క శక్తికి (1-p) nx ప్రాతినిధ్యం వహిస్తున్న విజయాల సంఖ్య మరియు ట్రయల్స్ సంఖ్య మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క శక్తికి పెంచబడిన వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత ద్వారా మరింత గుణించబడుతుంది.

ద్విపద ప్రయోగం యొక్క n స్వతంత్ర ప్రయత్నాలలో x విజయాలు పొందే సంభావ్యత కింది ద్విపద పంపిణీ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

పి (ఎక్స్) = _nసి_x px (1-p) n-x

ఇక్కడ p అనేది విజయానికి సంభావ్యత

పై సమీకరణంలో, _nసి_x ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది కలయికల సూత్రం తప్ప మరొకటి కాదు. కలయికలను లెక్కించడానికి సూత్రం ఇలా ఇవ్వబడింది _nసి_x = n! / x! (n-x)! ఇక్కడ n అంశాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది (స్వతంత్ర ప్రయత్నాలు) మరియు x ఒక సమయంలో ఎన్నుకోబడిన అంశాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది (విజయాలు).

ద్విపద పంపిణీలో n = 1 విషయంలో, పంపిణీని బెర్నౌల్లి పంపిణీ అంటారు. ద్విపద పంపిణీ యొక్క సగటు np. ద్విపద పంపిణీ యొక్క వైవిధ్యం np (1-p).

ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణన (దశల వారీగా)

కింది నాలుగు సాధారణ దశలను ఉపయోగించడం ద్వారా ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణనను పొందవచ్చు:

• దశ 1: ట్రయల్స్ సంఖ్య మరియు విజయాల సంఖ్య మధ్య కలయికను లెక్కించండి. కోసం సూత్రం _nసి_x ఎక్కడ n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. N సంఖ్యకు, n యొక్క కారకాన్ని n గా వ్రాయవచ్చు. = n * (n-1)! ఉదాహరణకు, 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1
• దశ 2: Px అయిన విజయాల సంఖ్య యొక్క శక్తికి పెరిగిన విజయానికి సంభావ్యతను లెక్కించండి.
• దశ 3: విజయాల సంఖ్య మరియు ప్రయత్నాల సంఖ్య మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క శక్తికి పెరిగిన వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించండి. వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత 1-p. అందువలన, ఇది (1-p) n-x పొందడం సూచిస్తుంది
• దశ 4: దశ 1, దశ 2 మరియు దశ 3 లో పొందిన ఫలితాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

ఉదాహరణలు

మీరు ఈ ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా ఎక్సెల్ మూసను ఇక్కడ డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవచ్చు - ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా ఎక్సెల్ మూస

ఉదాహరణ # 1

ట్రయల్స్ సంఖ్య (ఎన్) 10. విజయం యొక్క సంభావ్యత (పి) 0.5. సరిగ్గా 6 విజయాలు పొందే సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణన చేయండి.

పరిష్కారం:

ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణన కోసం క్రింది డేటాను ఉపయోగించండి.

ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణన క్రింది విధంగా చేయవచ్చు,

పి (x = 6) = ₁₀సి₆*(0.5)6(1-0.5)10-6

                = (10!/6!(10-6)!)*0.015625*(0.5)4

               = 210*0.015625*0.0625

సరిగ్గా 6 విజయాలు పొందే సంభావ్యత ఉంటుంది-

పి (x = 6) = 0.205

సరిగ్గా 6 విజయాలు పొందే సంభావ్యత 0.2051

ఉదాహరణ # 2

భీమా సంస్థ యొక్క మేనేజర్ అతని క్రింద పనిచేసే భీమా అమ్మకందారులచే అమ్మబడిన బీమా పాలసీల డేటా ద్వారా వెళతారు. మోటారు భీమా కొనుగోలు చేసే వారిలో 80% మంది పురుషులు అని ఆయన కనుగొన్నారు. 8 మోటారు భీమా యజమానులను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేస్తే, వారిలో 5 మంది పురుషులు ఖచ్చితంగా ఉండగలరని ఆయన తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు.

పరిష్కారం: మనం మొదట n, p మరియు x ఏమిటో తెలుసుకోవాలి.

ద్విపద పంపిణీ యొక్క గణన క్రింది విధంగా చేయవచ్చు,

పి (x = 5) = ₈సి₅*(0.8)5(1-0.8)8-5

               = (8! /5! (8-5)! )*0.32768*(0.2)3

              = 56*0.32768*0.008

సరిగ్గా 5 విజయాల సంభావ్యత ఉంటుంది-

పి (x = 5) = 0.14680064

సరిగ్గా 5 మోటారు భీమా యజమానులు పురుషులు కావడానికి సంభావ్యత 0.14680064.

ఉదాహరణ # 3

క్యాన్సర్ రోగులకు చికిత్స కోసం కొత్త drug షధాన్ని ప్రవేశపెట్టడం పట్ల హాస్పిటల్ యాజమాన్యం ఉత్సాహంగా ఉంది, ఎందుకంటే ఒక వ్యక్తి విజయవంతంగా చికిత్స పొందే అవకాశం చాలా ఎక్కువ. రోగి విజయవంతంగా by షధం ద్వారా చికిత్స పొందే సంభావ్యత 0.8. Patients షధాన్ని 10 మంది రోగులకు ఇస్తారు. 9 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది రోగులు విజయవంతంగా చికిత్స పొందుతున్న సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మనం మొదట n, p మరియు x అంటే ఏమిటో తెలుసుకోవాలి.

9 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది రోగులు విజయవంతంగా చికిత్స పొందే సంభావ్యతను మేము కనుగొనాలి. అందువలన, 9 లేదా 10 మంది రోగులు దీనిని విజయవంతంగా చికిత్స చేస్తారు

x (మీరు సంభావ్యతను కనుగొనవలసిన సంఖ్య) = 9 లేదా x = 10

మేము పి (9) మరియు పి (10) ను కనుగొనాలి

P (x = 9) ను కనుగొనడానికి ద్విపద పంపిణీని లెక్కించడం ఈ క్రింది విధంగా చేయవచ్చు,

పి (x = 9) = ₁₀సి₉*(0.8)9(1-0.8)10-9

               = (10! /9! (10-9)!)*0.134217728*(0.2)

               = 10*0.134217728*0.2

9 రోగుల సంభావ్యత ఉంటుంది-

పి (x = 9) = 0.2684

P (x = 10) ను కనుగొనడానికి ద్విపద పంపిణీని లెక్కించడం ఈ క్రింది విధంగా చేయవచ్చు,

పి (x = 10) = ₁₀సి₁₀*(0.8)10(1-0.8)10-10

                  = (10!/10! (10-10)!)*0.107374182*(0.2)0

                  = 1*0.107374182*

10 రోగుల సంభావ్యత ఉంటుంది-

పి (x = 10) = 0.1074

కాబట్టి, P (x = 9) + P (x = 10) = 0.268 + 0.1074

= 0.3758

ఈ విధంగా, 9 షధం ద్వారా చికిత్స పొందుతున్న 9 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది రోగుల సంభావ్యత 0.375809638.

ద్విపద పంపిణీ కాలిక్యులేటర్

మీరు ఈ క్రింది ద్విపద పంపిణీ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.

n
p
x
ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా =

ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా =	nసిx * px * (1 -p) n-x
	0 సి 0 * 0 0 * (1- 0 ) 0 - 0 =	0

Lev చిత్యం మరియు ఉపయోగం

• రెండు ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్నాయి
• ప్రతి ఫలితం యొక్క సంభావ్యత విచారణ నుండి విచారణ వరకు స్థిరంగా ఉంటుంది
• నిర్ణీత సంఖ్యలో ప్రయత్నాలు ఉన్నాయి
• ప్రతి విచారణ స్వతంత్రమైనది, అనగా ఇతరులతో పరస్పరం ప్రత్యేకమైనది
• ఇచ్చిన ట్రయల్స్‌లో విజయవంతమైన ఫలితాల సంఖ్య యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీని ఇది మాకు అందిస్తుంది, ఇక్కడ ఇచ్చిన ప్రతి ట్రయల్స్ విజయానికి ఒకే సంభావ్యతను కలిగి ఉంటాయి.
• ద్విపద ప్రయోగంలో ప్రతి విచారణ కేవలం రెండు ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది. అందువల్ల, పేరు ‘ద్విపద’. ఈ ఫలితాల్లో ఒకటి విజయం అని, మరొకటి వైఫల్యం అంటారు. ఉదాహరణకు, అనారోగ్యంతో ఉన్నవారు చికిత్సకు ప్రతిస్పందించవచ్చు లేదా కాదు.
• అదేవిధంగా, మేము ఒక నాణెం టాసు చేసినప్పుడు, మనకు రెండు రకాల ఫలితాలను మాత్రమే పొందవచ్చు: తలలు లేదా తోకలు. ద్విపద పంపిణీ అనేది గణాంకాలలో ఉపయోగించే వివిక్త పంపిణీ, ఇది నిరంతర పంపిణీకి భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఒక నాణెం విసిరేయడం ద్విపద ప్రయోగానికి ఉదాహరణ, మూడుసార్లు చెప్పండి. మేము ఒక నాణెం తిప్పినప్పుడు, 2 ఫలితాలు మాత్రమే సాధ్యమవుతాయి - తలలు మరియు తోకలు. ప్రతి ఫలితం యొక్క సంభావ్యత 0.5. నాణెం మూడుసార్లు విసిరినందున, ట్రయల్స్ సంఖ్య 3 గా నిర్ణయించబడింది. ప్రతి టాస్ యొక్క సంభావ్యత ఇతర టాసుల ద్వారా ప్రభావితం కాదు.

సాంఘిక శాస్త్ర గణాంకాలలో ద్విపద పంపిణీ దాని అనువర్తనాలను కనుగొంటుంది. రెండు ఫలితాలు ఉన్న డైకోటోమస్ ఫలిత వేరియబుల్స్ కోసం మోడళ్లను అభివృద్ధి చేయడానికి ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. రిపబ్లికన్లు లేదా డెమొక్రాట్లు ఈ ఎన్నికల్లో విజయం సాధిస్తారా అనేది దీనికి ఉదాహరణ.

ఎక్సెల్ లో ద్విపద పంపిణీ ఫార్ములా (ఎక్సెల్ టెంప్లేట్ తో)

సౌరభ్ పాఠశాలలో ద్విపద పంపిణీ సమీకరణం గురించి తెలుసుకున్నాడు. అతను తన సోదరితో కాన్సెప్ట్ గురించి చర్చించాలని మరియు ఆమెతో పందెం వేయాలని కోరుకుంటాడు. అతను నిష్పాక్షికమైన నాణెం 10 సార్లు టాసు చేస్తాడని అనుకున్నాడు. అతను 10 టాసుల్లో సరిగ్గా 5 తోకలు పొందడానికి $ 100 పందెం వేయాలనుకుంటున్నాడు. ఈ పందెం యొక్క ప్రయోజనం కోసం, అతను 10 టాసుల్లో సరిగ్గా 5 తోకలు పొందే సంభావ్యతను లెక్కించాలనుకుంటున్నాడు.

పరిష్కారం: మనం మొదట n, p మరియు x అంటే ఏమిటో తెలుసుకోవాలి.

ద్విపద పంపిణీకి అంతర్నిర్మిత సూత్రం ఉంది ఎక్సెల్ ఇది

ఇది BINOM.DIST (విజయాల సంఖ్య, ప్రయత్నాలు, విజయానికి సంభావ్యత, FALSE).

ద్విపద పంపిణీ యొక్క ఈ ఉదాహరణ కోసం:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) ఇక్కడ సెల్ B2 విజయాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, సెల్ B3 ట్రయల్స్ సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు సెల్ B4 విజయం యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, ద్విపద పంపిణీ యొక్క లెక్కింపు ఉంటుంది-

పి (x = 5) = 0.24609375

10 టాసుల్లో సరిగ్గా 5 తోకలు పొందే సంభావ్యత 0.24609375

గమనిక: పై సూత్రంలోని తప్పుడు సంభావ్యత ద్రవ్యరాశి పనితీరును సూచిస్తుంది. ఇది n స్వతంత్ర ప్రయత్నాల నుండి సరిగ్గా n విజయాలు సాధించే సంభావ్యతను లెక్కిస్తుంది. సంచిత పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను TRUE సూచిస్తుంది. ఇది n స్వతంత్ర ప్రయత్నాల నుండి గరిష్టంగా x విజయాలు సాధించే సంభావ్యతను లెక్కిస్తుంది.